Derivate delle inverse goniometriche

Osservazione — Anticipazione: derivate delle inverse goniometriche (5ª)

In Quinta vedremo che le inverse goniometriche hanno derivate molto eleganti, che si ricavano dal teorema della derivata della funzione inversa: $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}.$ Come conseguenza importante per gli integrali: $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C.$ Quindi $\arctan$ e $\arcsin$ “rispondono” a integrali che apparirebbero altrimenti misteriosi. Sono al cuore di tante sostituzioni trigonometriche dell’analisi.

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Arcocoseno · Arcoseno · Arcotangente · Derivata · Integrale
Funzioni: Arcocoseno · Arcoseno · Arcotangente · Funzioni goniometriche inverse