Periodicità

Poiché il punto $P_\alpha$ ritorna nella stessa posizione dopo ogni giro completo, seno e coseno si ripetono a intervalli regolari: sono funzioni periodiche.

Proprietà — Periodicità

Le funzioni $\sin$ e $\cos$ sono periodiche di periodo $2\pi$: per ogni $\alpha\in\mathbb{R}$ e ogni $k\in\mathbb{Z}$, $\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha,\qquad \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha.$ La tangente è invece periodica di periodo $\pi$: $\tan(\alpha + k\pi) = \tan\alpha.$

Dimostrazione

Un incremento di $2\pi$ dell’angolo corrisponde a un giro completo sulla circonferenza goniometrica: il punto $P_\alpha$ ritorna nella stessa posizione, quindi le sue coordinate (seno e coseno) non cambiano. Per la tangente basta osservare che $\tan(\alpha+\pi) = \dfrac{\sin(\alpha+\pi)}{\cos(\alpha+\pi)} = \dfrac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} = \tan\alpha$ (usando le formule di riduzione degli archi associati). ∎

Il segno di $\sin$ dipende dall’ordinata, quello di $\cos$ dall’ascissa, quello di $\tan$ dal loro rapporto (positivo nel primo e terzo quadrante, negativo nel secondo e quarto).

Tabella visiva dei segni sui quattro quadranti.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Coseno · Periodicita · Seno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Dimostrare