Simmetrico rispetto a una retta

Testo

Trovare il simmetrico del punto $P(3;-2)$ rispetto alla retta $y = x + 1$.

Soluzione

La retta si scrive $x - y + 1 = 0$, quindi $a=1$, $b=-1$, $c=1$. Per la riflessione di un punto $(x_0;y_0)$ rispetto alla retta $ax+by+c=0$ calcoliamo $t = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2} = \frac{3 - (-2) + 1}{1^2 + (-1)^2} = \frac{6}{2} = 3.$ Il simmetrico è $\begin{aligned} x' &= x_0 - 2a\,t = 3 - 2\cdot 1\cdot 3 = -3,\\ y' &= y_0 - 2b\,t = -2 - 2\cdot(-1)\cdot 3 = 4. \end{aligned}$ Dunque $\boxed{P'(-3;4)}$. Verifica: il punto medio di $PP'$ è $(0;1)$, che appartiene alla retta ($1 = 0 + 1$), e la retta è perpendicolare a $PP'$.

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Simmetria assiale
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema geometrico