Dilatazioni e omotetie

Le dilatazioni sono trasformazioni che riscalano il piano, allargandolo o restringendolo lungo le due direzioni. Non sono isometrie, perché in generale modificano le distanze.

Definizione — Dilatazione e omotetia

Una dilatazione (non uniforme) è una trasformazione del tipo $(x;y)\mapsto(\lambda x;\ \mu y),$ con $\lambda, \mu > 0$ fattori di scala indipendenti. Non è un’isometria: moltiplica le distanze orizzontali per $\lambda$ e quelle verticali per $\mu$. Se $\lambda = \mu$, la dilatazione è uniforme e prende il nome di omotetia di rapporto $\lambda$: in tal caso le distanze sono moltiplicate uniformemente per $\lambda$, gli angoli sono conservati e la figura risulta simile all’originale.

Proprietà — Effetto sulle curve

La dilatazione $(x;y)\mapsto(\lambda x;\ \mu y)$ trasforma l’equazione $f(x,y)=0$ in $f\!\left(\tfrac{x}{\lambda},\ \tfrac{y}{\mu}\right)=0.$ Analogamente al caso delle traslazioni, si usa l’inversa della trasformazione nelle sostituzioni.

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Dilatazione · Omotetia
Metodi: Trasformazioni omotetie
Competenze: Geometria analitica