Traslazioni

La traslazione è l’isometria che sposta ogni punto del piano di una stessa quantità e in una stessa direzione, descritte da un vettore.

Definizione — Traslazione

Dato un vettore $\vec{v} = (a;b)$, la traslazione di vettore $\vec{v}$ è la trasformazione $T_{\vec{v}}:\ (x;y) \mapsto (x';y') = (x + a;\ y + b).$

Proprietà — Effetto sulle curve

Data una curva di equazione $f(x,y) = 0$, l’equazione della curva traslata di vettore $(a;b)$ si ottiene sostituendo $x$ con $x-a$ e $y$ con $y-b$ nell’equazione originale: $f(x-a,\ y-b) = 0.$ Il “meno” è controintuitivo ma corretto: se trasliamo ogni punto della curva verso destra di $a$, un nuovo punto $(x';y')$ appartiene alla curva traslata se e solo se il suo “antenato” $(x'-a;\ y'-b)$ appartiene alla curva originale.

Esempio

La parabola $y = x^2$ traslata di $(+3;-1)$ diventa $y + 1 = (x-3)^2$, cioè $y = (x-3)^2 - 1 = x^2 - 6x + 8.$ Il vertice da $(0;0)$ si sposta in $(3;-1)$, come previsto.

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Parabola · Traslazione · Vettore
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica · Tracciare grafico