Proprietà dell'inversa e simmetria del grafico

L’inversa “disfa” ciò che la funzione ha fatto, e il suo grafico è la riflessione di quello di $f$.

Proprietà — Composizione con l'inversa

Se $f^{-1}$ esiste, vale $f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = x \ \text{per ogni } x\in A, \qquad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr) = y \ \text{per ogni } y\in B.$ Cioè: applicare $f$ e poi $f^{-1}$ (o viceversa) restituisce sempre l’input iniziale.

Proprietà — Grafico dell'inversa

Il grafico di $f^{-1}$ si ottiene dal grafico di $f$ riflettendolo rispetto alla retta $y=x$: se $(a,b)$ è un punto del grafico di $f$, allora $(b,a)$ è un punto del grafico di $f^{-1}$.

I grafici di $f(x)=\tfrac{x^2}{2}$ e della sua inversa $f^{-1}(x)=\sqrt{2x}$ sono simmetrici rispetto alla retta $y=x$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione composta · Funzione inversa
Competenze: Interpretare grafico · Tracciare grafico