Iniettività e inversa di x³+1

Testo

Stabilire se $f(x) = x^3 + 1$ è iniettiva, suriettiva, biunivoca su $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, e calcolarne l’inversa.

Soluzione

Iniettiva: $x^3$ è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$, quindi anche $x^3+1$ lo è; una funzione strettamente monotona è iniettiva. ✓ Suriettiva: al variare di $x\in\mathbb{R}$, $x^3$ assume tutti i valori reali, dunque $x^3+1$ copre tutto $\mathbb{R}$: $\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}$. ✓ Biunivoca: essendo iniettiva e suriettiva, sì. ✓

Inversa: poniamo $y=x^3+1$, isoliamo $x$: $x^3=y-1$, quindi $x=\sqrt[3]{y-1}$. Scambiando i nomi delle variabili: $\boxed{f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}}.$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione biiettiva · Funzione iniettiva · Funzione inversa · Funzione suriettiva
Funzioni: Funzione cubica
Competenze: Risolvere equazioni · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione