Iperbole equilatera xy=6

Testo

Mostrare che $xy = 6$ è un’iperbole equilatera riferita agli asintoti e determinare $a$.

Soluzione

L’equazione $xy=k$ è la forma che assume un’iperbole equilatera $x^2-y^2=a^2$ quando il riferimento viene ruotato di $45°$ così da far coincidere gli asintoti con gli assi cartesiani. Il legame tra le due forme è $k=\frac{a^2}{2}.$ Qui $k=6$, quindi $xy=6$ è effettivamente un’iperbole equilatera riferita agli asintoti (i suoi asintoti sono gli assi $x$ e $y$, perpendicolari tra loro). Ricaviamo $a$: $a^2=2k=2\cdot 6=12 \quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt{12}=\boxed{2\sqrt{3}}.$ Essendo equilatera, si ha inoltre $b=a=2\sqrt{3}$.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Iperbole equilatera · Proporzionalita inversa
Funzioni: Iperbole
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Dimostrazione