Esempio — studio di una funzione omografica

Mettiamo in pratica le regole studiando completamente una funzione omografica.

Esempio — Studiare $y = \dfrac{2x+3}{x-1}$

Asintoto verticale: $x - 1 = 0 \iff x = 1$.

Asintoto orizzontale: per $|x|\to\infty$, $y\to \tfrac{2x}{x} = 2$, quindi $y = 2$.

Centro di simmetria: $O'(1;2)$.

Intersezioni con gli assi:

• con $Oy$ ($x=0$): $y = \tfrac{3}{-1} = -3$. Punto $(0;-3)$.
• con $Ox$ ($y=0$): $\tfrac{2x+3}{x-1}=0 \iff 2x+3=0 \iff x = -\tfrac{3}{2}$. Punto $\left(-\tfrac{3}{2};0\right)$.

Lettura: il grafico di $y=\tfrac{2x+3}{x-1}$ è un’iperbole con asintoto verticale $x=1$ (dove il ramo sinistro e quello destro si separano), asintoto orizzontale $y=2$ e centro di simmetria $O'(1;2)$.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Centro di simmetria · Funzione omografica
Funzioni: Funzione omografica
Competenze: Geometria analitica · Studiare funzione · Tracciare grafico