Dimostrazione degli asintoti

Perché le rette $y=\pm\frac{b}{a}x$ sono asintoti dell’iperbole? L’idea è confrontare l’ordinata della curva con quella della retta quando $x$ diventa molto grande.

Dimostrazione — Gli asintoti

Dalla forma canonica, isolando $y$: $y = \pm\,b\sqrt{\tfrac{x^2}{a^2} - 1} = \pm\,\tfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}.$ Per $|x|\to\infty$ si ha $\sqrt{x^2-a^2} = |x|\sqrt{1 - a^2/x^2}\to |x|,$ quindi $y \approx \pm \tfrac{b}{a}|x|$, cioè $y \approx \pm\tfrac{b}{a}x$ (l’uno o l’altro segno a seconda del ramo). Le rette $y = \pm\tfrac{b}{a}x$ sono dunque gli asintoti. ∎

In pratica, per valori grandi di $|x|$ il termine $a^2/x^2$ diventa trascurabile e la radice si comporta come $|x|$: la differenza tra la curva e la retta tende a zero.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Iperbole
Funzioni: Iperbole
Competenze: Analisi casi limite · Dimostrare