Riconoscimento di un'ellisse traslata

Testo

Riconoscere e ridurre alla forma canonica traslata: $x^2 + 4y^2 + 2x - 8y + 1 = 0$.

Soluzione

Raggruppo i termini in $x$ e i termini in $y$, raccogliendo il $4$ davanti a quelli in $y$: $(x^2 + 2x) + 4(y^2 - 2y) + 1 = 0.$

Completo i due quadrati: $\bigl[(x+1)^2 - 1\bigr] + 4\bigl[(y-1)^2 - 1\bigr] + 1 = 0$ $(x+1)^2 + 4(y-1)^2 - 1 - 4 + 1 = 0$ $(x+1)^2 + 4(y-1)^2 = 4.$

Divido per $4$ per ottenere la forma canonica traslata: $\boxed{\dfrac{(x+1)^2}{4} + \dfrac{(y-1)^2}{1} = 1}.$

È un’ellisse di centro $O'(-1;1)$, semiassi $a = 2$ (orizzontale) e $b = 1$ (verticale). Poiché $a>b$, i fuochi sono orizzontali con $c = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$: $F_{1,2}(-1\pm\sqrt{3};\ 1)$.

Collegamenti

Argomenti: Ellisse
Concetti: Completamento del quadrato · Ellisse · Ellisse traslata · Equazione canonica
Competenze: Geometria analitica · Semplificare
Tipo di esercizio: Scomposizione