Riconoscimento di un'ellisse

Vediamo come, partendo da un’equazione sviluppata, il completamento del quadrato riveli l’ellisse nascosta, con il suo centro e i suoi semiassi.

Esempio — Riconoscimento di un'ellisse

$4x^2 + 9y^2 - 16x - 18y - 11 = 0$.

Raccolgo $4$ davanti a $x^2, x$ e $9$ davanti a $y^2, y$: $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 - 2y) - 11 = 0.$

Completo i quadrati: $4\bigl[(x-2)^2 - 4\bigr] + 9\bigl[(y-1)^2 - 1\bigr] - 11 = 0$ $4(x-2)^2 + 9(y-1)^2 - 16 - 9 - 11 = 0$ $4(x-2)^2 + 9(y-1)^2 = 36.$

Divido per $36$: $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1.$

È un’ellisse di centro $O'(2;1)$, semiassi $a = 3$ (orizzontale), $b = 2$ (verticale), $c = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}$. Fuochi $(2\pm\sqrt{5};\ 1)$.

Collegamenti

Argomenti: Ellisse
Concetti: Completamento del quadrato · Ellisse · Ellisse traslata · Equazione canonica
Competenze: Geometria analitica · Semplificare