Dimostrazione dell'equazione canonica

Ricaviamo l’equazione canonica direttamente dalla definizione di luogo, traducendo in coordinate la condizione sulla somma delle distanze.

Dimostrazione — Equazione canonica

Dalla definizione di luogo, posto $P(x;y)$: $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a.$ Le due distanze sono entrambe $\ge 0$, ma la somma di due radicali non si può elevare al quadrato “direttamente”: bisogna prima isolarne una. $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}.$ Eleviamo al quadrato entrambi i membri (il secondo membro dev’essere $\ge 0$, cioè $2a \ge \sqrt{(x-c)^2+y^2}$, che è vero per definizione di ellisse): $(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2 + y^2.$ Sviluppando e semplificando i termini comuni: $4cx - 4a^2 = -4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \iff a^2 - cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$ Eleviamo al quadrato di nuovo (entrambi i membri $\ge 0$ dentro la regione di definizione): $a^4 - 2a^2 cx + c^2 x^2 = a^2\bigl[(x-c)^2 + y^2\bigr] = a^2 x^2 - 2a^2 cx + a^2 c^2 + a^2 y^2.$ Semplificando e riordinando: $a^4 - a^2 c^2 = (a^2 - c^2)x^2 + a^2 y^2.$ Ponendo $b^2 = a^2 - c^2$ (positivo perché $a > c$) e dividendo tutto per $a^2 b^2$ si arriva alla forma canonica. $\blacksquare$

Attenzione — Doppio elevamento al quadrato

L’unica vera difficoltà nella derivazione è che bisogna elevare al quadrato due volte, perché dopo il primo elevamento compare ancora un radicale. Una volta isolato il radicale residuo e fatto il secondo elevamento, i conti si semplificano magicamente.

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Argomenti: Ellisse
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