L'asse radicale

Intersecare due circonferenze con un sistema sembra ingestibile (due equazioni di secondo grado), ma c’è un trucco molto bello che funziona solo tra circonferenze.

Proprietà — Asse radicale

Siano $\gamma_1: x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $\gamma_2: x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ due circonferenze distinte. Sottraendo membro a membro le loro equazioni si ottiene $(a_1 - a_2)\,x + (b_1 - b_2)\,y + (c_1 - c_2) = 0,$ che è l’equazione di una retta, detta asse radicale delle due circonferenze. Questa retta ha una proprietà fondamentale: contiene tutti i punti di intersezione di $\gamma_1$ e $\gamma_2$.

Dimostrazione

Se $P(x_0;y_0)$ appartiene a entrambe le circonferenze, allora entrambe le equazioni sono soddisfatte. La loro differenza (che è ancora vera) dà esattamente l’equazione dell’asse radicale valutata in $P$. Quindi ogni intersezione di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sta sull’asse radicale. ∎

La sottrazione elimina i termini $x^2$ e $y^2$ (identici nelle due equazioni), lasciando un’equazione di primo grado: ecco perché il risultato è una retta.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Asse radicale · Equazione circonferenza · Intersezione circonferenze
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica