Esempio — tangenti con il metodo della distanza

Esempio — Tangenti da punto esterno, metodo della distanza

Stesso problema dell’esempio precedente ($\gamma:\ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$, $C(1;2)$, $R=1$, $P(0;4)$), risolto imponendo $d(C, r) = R$.

Fascio: $mx - y + 4 = 0$ (escludendo $x=0$).

Distanza: $d(C, r) = \frac{|m\cdot 1 - 1\cdot 2 + 4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m+2|}{\sqrt{m^2+1}}.$

Tangenza: $d(C, r) = R = 1 \iff |m+2| = \sqrt{m^2+1}$. Siamo in un caso $|A| = \sqrt{B}$, con entrambi i membri $\ge 0$: si eleva al quadrato direttamente. $(m+2)^2 = m^2 + 1 \iff m^2 + 4m + 4 = m^2 + 1 \iff 4m = -3 \iff m = -\tfrac{3}{4}.$ Si ritrova lo stesso valore di $m$, senza calcoli faticosi. La retta $x=0$ va sempre controllata a parte, come nell’esempio precedente. ✓

Il confronto tra i due esempi mostra il vantaggio del metodo della distanza: porta a un’equazione più semplice (di primo grado in $m$, in questo caso) e conduce allo stesso risultato con meno passaggi.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Distanza punto retta · Fascio di rette · Punto esterno · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni