Parabola da fuoco e direttrice

Testo

Dalla definizione di luogo, scrivere l’equazione della parabola di fuoco $F(2;0)$ e direttrice $x = -2$.

Soluzione

Per un punto generico $P(x;y)$ imponiamo $d(P,F) = d(P,d)$, dove la distanza dalla direttrice verticale $x = -2$ è $|x + 2|$: $\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = |x + 2|.$ Entrambi i membri sono $\ge 0$: eleviamo al quadrato. $(x-2)^2 + y^2 = (x+2)^2 \implies x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 4x + 4.$ I termini $x^2$ e $4$ si cancellano e rimane $y^2 - 4x = 4x$, cioè $\boxed{y^2 = 8x} \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{y^2}{8}.$ Si tratta di una parabola con asse orizzontale (l’asse $x$), vertice nell’origine, aperta verso destra: coerente con il fuoco $F(2;0)$ a destra della direttrice $x = -2$.

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Direttrice · Distanza punto retta · Fuoco · Parabola · Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico