Bisettrici di due rette

Testo

Scrivere le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da $r:\ y = 2x$ e $s:\ x + y = 0$ (le due bisettrici).

Soluzione

Scriviamo le rette in forma implicita: $r:\ 2x - y = 0$ e $s:\ x + y = 0$. Un punto $P(x;y)$ appartiene a una bisettrice quando $d(P,r) = d(P,s)$: $\frac{|2x - y|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|x + y|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \implies \frac{|2x - y|}{\sqrt{5}} = \frac{|x + y|}{\sqrt{2}}.$ Quindi $\sqrt{2}\,|2x - y| = \sqrt{5}\,|x + y|$, un caso $|A| = |C|$ che si spezza nei due casi $A = C$ e $A = -C$: $\sqrt{2}(2x - y) = \sqrt{5}(x + y) \ \cup\ \sqrt{2}(2x - y) = -\sqrt{5}(x + y).$ Le due bisettrici sono dunque: $b_1:\ (2\sqrt{2} - \sqrt{5})\,x - (\sqrt{2} + \sqrt{5})\,y = 0,\qquad b_2:\ (2\sqrt{2} + \sqrt{5})\,x + (\sqrt{5} - \sqrt{2})\,y = 0.$ In forma esplicita, con i coefficienti angolari: $b_1:\ y = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}\,x \approx 0.162\,x,\qquad b_2:\ y = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}\,x \approx -6.16\,x.$ Verifica: $m_1 m_2 \approx 0.162 \cdot (-6.16) = -1$, quindi le due bisettrici sono perpendicolari, come deve essere. $\boxed{m_1 m_2 = -1}$

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Bisettrice · Distanza punto retta · Retta · Valore assoluto
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico