Formule di fuoco, vertice e direttrice

Proprietà — Formule generali

Data la parabola $y = ax^2 + bx + c$, si ha: $V\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{\Delta}{4a}\right),\qquad F\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{\Delta}{4a} + \frac{1}{4a}\right),\qquad d:\ y = -\frac{\Delta}{4a} - \frac{1}{4a}.$ Il fuoco sta sull’asse di simmetria, “dentro” la curva, alla distanza $\tfrac{1}{|4a|}$ dal vertice; la direttrice è perpendicolare all’asse di simmetria, alla stessa distanza ma dalla parte opposta.

Dimostrazione

Si parte dalla forma $y = ax^2 + bx + c$, la si riscrive in “forma canonica” completando il quadrato: $y = a\bigl(x - x_V\bigr)^2 + y_V$ con $x_V = -\tfrac{b}{2a}$ e $y_V = -\tfrac{\Delta}{4a}$. Traslando l’origine nel vertice si ottiene $Y = aX^2$ e, dalla definizione di luogo, si verifica che il fuoco ha $Y_F = \tfrac{1}{4a}$ e la direttrice $Y_d = -\tfrac{1}{4a}$. Ritornando alle coordinate originali (trasliamo indietro) si ottengono le formule enunciate. ∎

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Direttrice · Fuoco · Parabola · Vertice
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica · Usare formule