Il fascio a due generatrici

Esiste un modo più potente e unificato per descrivere un fascio: costruirlo a partire da due rette date.

Proprietà — Fascio a due generatrici

Siano $r_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $r_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ due rette distinte, scritte in forma implicita. L’equazione $\alpha\,(a_1 x + b_1 y + c_1) + \beta\,(a_2 x + b_2 y + c_2) = 0, \qquad (\alpha;\beta)\ne(0;0),$ al variare della coppia $(\alpha;\beta)$, descrive:

• un fascio proprio se $r_1$ e $r_2$ sono incidenti, con sostegno il loro punto di intersezione;
• un fascio improprio se $r_1$ e $r_2$ sono parallele, con direzione comune.

Le rette $r_1$ e $r_2$ vengono dette generatrici del fascio.

La forza di questa scrittura è che unifica i due tipi di fascio: basta guardare se le generatrici si incontrano o sono parallele per sapere se il fascio è proprio o improprio, senza bisogno di calcolare esplicitamente il sostegno.

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Equazione implicita · Fascio di rette · Fascio improprio · Fascio proprio · Generatrici · Sostegno del fascio
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Usare formule