Esempio — distanza nel fascio di rette

Una disequazione “scorciatoia” tipica: una distanza da confrontare con un valore.

Esempio — Distanza nel fascio di rette

Nel fascio di rette $f_k:\ x-ky+k+2=0$, determina i valori di $k$ per cui la distanza dal punto $Q(1;2)$ alla retta del fascio è minore di $1$.

Distanza punto–retta: $d(Q,f_k)=\frac{|1\cdot 1 - k\cdot 2 + k+2|}{\sqrt{1+k^2}} = \frac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}}.$

Disequazione: $\dfrac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}} < 1$.

CE: il denominatore è $\sqrt{1+k^2}$ con $1+k^2>0$ sempre, quindi nessuna restrizione su $k$.

Il denominatore è strettamente positivo, quindi possiamo moltiplicare entrambi i membri per $\sqrt{1+k^2}$ conservando il verso: $|3-k| < \sqrt{1+k^2}.$ Siamo nel caso $|A| < \sqrt{B}$: entrambi i membri sono $\ge 0$, possiamo elevare al quadrato direttamente: $(3-k)^2 < 1+k^2 \iff 9-6k+k^2 < 1+k^2 \iff -6k < -8 \iff k>\tfrac{4}{3}.$

Soluzione: $\boxed{\,k>\tfrac{4}{3}\,}$.

Nota come il valore assoluto e la radice, entrambi non negativi, permettano di elevare al quadrato “a colpo sicuro”: il $|3-k|^2=(3-k)^2$ fa sparire il modulo senza alcuno studio del segno.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Disequazione irrazionale · Distanza punto retta · Fascio di rette · Retta · Valore assoluto
Metodi: Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Geometria analitica · Usare formule