Asse di un segmento in coordinate

Rivediamo con le coordinate cartesiane un risultato che conosciamo già dalla geometria sintetica: l’asse di un segmento. Lo troviamo con due metodi diversi, che portano naturalmente alla stessa equazione.

Esempio — Metodo 1: definizione di luogo geometrico

Equazione dell’asse del segmento $AB$ con $A(4;5)$ e $B(1;-6)$.

Il generico punto $P(x_P; y_P)$ dell’asse è equidistante da $A$ e $B$: $\sqrt{(x_P-4)^2+(y_P-5)^2} = \sqrt{(x_P-1)^2+(y_P+6)^2}$ Elevando al quadrato: $x_P^2+16-8x_P+y_P^2+25-10y_P = x_P^2+1-2x_P+y_P^2+36+12y_P$ Semplificando ($x_P^2$ e $y_P^2$ si cancellano): $-6x_P - 22y_P = -4 \implies 3x+11y = 2 \implies \boxed{y = -\frac{3}{11}x + \frac{2}{11}}$

Esempio — Metodo 2: punto medio e perpendicolarità

Punto medio: $M=\bigl(\frac{5}{2},\,-\frac{1}{2}\bigr)$.

Pendenza di $AB$: $m_{AB}=\dfrac{-6-5}{1-4}=\dfrac{-11}{-3}=\dfrac{11}{3}$.

Pendenza perpendicolare: $m=-\dfrac{3}{11}$.

Retta per $M$ con pendenza $-\frac{3}{11}$: $y+\frac{1}{2} = -\frac{3}{11}\Bigl(x-\frac{5}{2}\Bigr) \implies y = -\frac{3}{11}x+\frac{2}{11}$ Stesso risultato del Metodo 1. ✓

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Asse segmento
Competenze: Geometria analitica · Usare formule