Circocentro - concorrenza degli assi

Il circocentro è l’intersezione dei tre assi dei lati ed è equidistante dai tre vertici: per questo è il centro della circonferenza circoscritta.

Teorema — Concorrenza degli assi

I tre assi dei lati di un triangolo si incontrano in un unico punto $O$ (circocentro), equidistante dai tre vertici: $OA\cong OB\cong OC$.

Dimostrazione — Gli assi sono concorrenti

1. Siano $m_1$ l’asse di $AB$ e $m_2$ l’asse di $BC$, e sia $O$ il loro punto di intersezione.
2. Poiché $O$ sta sull’asse di $AB$, per il teorema del luogo geometrico si ha $OA\cong OB$.
3. Poiché $O$ sta sull’asse di $BC$, si ha $OB\cong OC$.
4. Per transitività: $OA\cong OB\cong OC$, dunque $O$ è equidistante dai tre vertici.
5. Ma allora $OA\cong OC$ implica che $O$ sta anche sull’asse di $AC$ (terzo asse): i tre assi sono concorrenti in $O$, centro della circonferenza circoscritta.

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Osservazione — Circocentro nel triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo il circocentro coincide con il punto medio dell’ipotenusa.

Infatti l’angolo in $C$ è retto ($= \frac{\pi}{2}$) ed è un angolo alla circonferenza che insiste sull’arco $AB$. L’angolo al centro corrispondente vale $\pi$, dunque $A$, $O$ e $B$ sono allineati: $O$ sta sull’ipotenusa. Essendo $OA\cong OB$ (raggi), $O$ è il punto medio.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Asse segmento · Circocentro · Circonferenza circoscritta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica