Ortocentro - concorrenza delle altezze

L’ortocentro è l’intersezione delle tre altezze. La dimostrazione della loro concorrenza usa un’idea brillante: costruire un triangolo più grande di cui le altezze diventano gli assi dei lati.

Teorema — Concorrenza delle altezze

Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto (ortocentro).

Le altezze di $ABC$ (verdi) sono gli assi dei lati del triangolo esterno $DEF$.

Dimostrazione — Le altezze sono concorrenti

1. Da ogni vertice di $ABC$ mandiamo la parallela al lato opposto, formando il triangolo più grande $DEF$.
2. Per costruzione, $ABDC$ è un parallelogramma ($AB\parallel CD$, $AC\parallel BD$), dunque $AB\cong CD$. Analogamente, $ABCE$ è un parallelogramma, dunque $AB\cong CE$.
3. Segue $CD\cong CE$, cioè $C$ è il punto medio di $DE$.
4. Ora viene l’idea chiave: l’altezza $CH$ è perpendicolare ad $AB$, e $AB\parallel DE$ (per costruzione), dunque $CH\perp DE$ nel punto medio $C$. Ma allora $CH$ è l’asse del lato $DE$!
5. Analogamente, le altre altezze di $ABC$ sono assi dei lati di $DEF$. Poiché gli assi di un triangolo sono concorrenti, le altezze di $ABC$ sono concorrenti.

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Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Altezza · Ortocentro
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica