Intersezioni retta-parabola

Dove si incontrano una retta e una parabola? Si mettono a sistema le due equazioni e si ottiene un’equazione di secondo grado: il discriminante ci dice se ci sono $0$, $1$ o $2$ intersezioni. Se $\Delta<0$ la retta è esterna, se $\Delta=0$ è tangente, se $\Delta>0$ è secante.

Esempio

Data la parabola $y=\frac{x^2}{4}+x+1$ e la retta $r:\ y=\frac12 x$, stabilire se $r$ è tangente, secante o esterna.

Mettendo a sistema: $\frac{x^2}{4}+x+1=\frac12 x \implies \frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}+1=0 \implies x^2+2x+4=0.$ Il discriminante è $\Delta=4-16=-12<0$: la retta è esterna alla parabola.

Una generica retta parallela a $r$ ha equazione $y=\frac12 x+q$, con $q$ parametro.

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Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Intersezione retta parabola · Sistema
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi