Disequazione con un fattore quadratico

Un fattore quadratico con $\Delta<0$ ha segno costante: qui il denominatore $x^2+1$ è sempre positivo, quindi non influisce e basta studiare il numeratore.

Esempio — Disequazione con un fattore quadratico

Risolvere $\dfrac{x^2-9}{x^2+1}>0$.

Numeratore: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$, zeri in $x=\pm 3$. Denominatore: $x^2+1 > 0$ per ogni $x$ ($\Delta=-4<0$, $a=1>0$ → “sempre positivo”).

Quindi il denominatore non influisce sul segno: basta studiare il numeratore.

	$x<-3$	$x=-3$	$-3<x<3$	$x=3$	$x>3$
$x+3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x^2+1$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$\dfrac{x^2-9}{x^2+1}$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Soluzione: $\boxed{x<-3 \;\text{oppure}\; x>3}$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Scomposizione · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Risolvere disequazioni · Scomporre