Fattori sempre dello stesso segno

Quando un fattore ha segno costante (una parabola con $\Delta<0$, una somma di quadrati, una costante) non contribuisce a cambiare il segno del prodotto: si può semplificare, ricordando di cambiare il verso se il fattore è negativo.

Esempio — Numeratore o denominatore sempre dello stesso segno

Risolvere $\dfrac{-x^2+x-1}{x+3}\ge 0$.

Analisi del numeratore: $-x^2+x-1$. Calcoliamo $\Delta = 1-4 = -3 < 0$ e osserviamo $a=-1<0$. Per la regola dei sei casi (caso $a<0,\,\Delta<0$), la parabola sta sempre sotto l’asse $x$: il numeratore è sempre negativo.

Possiamo allora “dividere” entrambi i membri per il numeratore (negativo), cambiando il verso: $\frac{1}{x+3} \le 0 \;\Longleftrightarrow\; x+3 < 0 \;\Longleftrightarrow\; \boxed{x < -3}$ (Notare che $x=-3$ va escluso perché annulla il denominatore.)

Riepilogo della tecnica: quando un fattore è “sempre $+$” o “sempre $-$” (parabole con $\Delta<0$, somme di quadrati, costanti…), si può semplificare: solo gli altri fattori contribuiscono effettivamente al segno.

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Argomenti: Disequazioni
Concetti: Discriminante · Disequazione fratta · Studio del segno
Competenze: Risolvere disequazioni · Semplificare