Cardano dopo la forma depressa

Testo

Ridurre alla forma depressa l’equazione $x^3+6x^2+9x+4=0$ e applicare la formula di Cardano.

Soluzione

Con $a=1$, $b=6$ si pone $x=y-\dfrac{b}{3a}=y-2$. Sostituendo: $(y-2)^3+6(y-2)^2+9(y-2)+4 = y^3-3y+2 = 0,$ dunque $p=-3$, $q=2$. Il discriminante è $D=\Bigl(\frac{q}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{p}{3}\Bigr)^3 = 1 + (-1) = 0.$ Con $D=0$ la formula di Cardano dà $y=\sqrt[3]{-q/2}+\sqrt[3]{-q/2}=2\sqrt[3]{-1}=-2$, cioè $x=y-2=-4$. Le altre radici (doppie) si ottengono dividendo: $y^3-3y+2=(y+2)(y-1)^2$, da cui $y=1$ (doppia) e quindi $x=-1$ (doppia). In sintesi $\boxed{x=-4 \text{ (semplice)},\ x=-1 \text{ (doppia)}}$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione terzo grado · Forma depressa
Metodi: Cardano cubica
Competenze: Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione