La formula di Cardano

Passo 2: la formula di Cardano. Una volta ridotta l’equazione alla forma depressa $y^3+py+q=0$, la soluzione si ottiene da una formula chiusa che ricorda quella del secondo grado.

Proprietà — Formula di Cardano per $y^3+py+q=0$

Posto il discriminante della cubica $\Delta_3 = -4p^3-27q^2 \quad\text{(o equivalentemente }\, D=\Bigl(\tfrac{q}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{p}{3}\Bigr)^3\text{),}$ una soluzione è $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}.$

Il segno di $D$ gioca lo stesso ruolo del discriminante del secondo grado: se $D>0$ c’è una sola radice reale, se $D<0$ ce ne sono tre reali (il “caso irriducibile”), se $D=0$ le radici reali coincidono in parte.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Discriminante cubica · Equazione terzo grado · Forma depressa
Metodi: Cardano cubica
Competenze: Usare formule
Persone: Gerolamo Cardano