Ordine lessicografico e ordine sulle coppie

Testo

L’ordine alfabetico ($\le_{\text{lex}}$) sulle parole è totale o parziale? E l’ordine sulle coppie di numeri reali con la regola $(a,b)\le(c,d)$ se e solo se $a\le c$ e $b\le d$?

Soluzione

Ordine alfabetico: è totale. Date due parole diverse, si confrontano lettera per lettera fino alla prima differenza (o alla fine della più corta): il risultato stabilisce sempre quale viene prima. Ogni coppia è dunque confrontabile.

Ordine sulle coppie (ordine prodotto): è parziale. Per esempio $(1,2)$ e $(2,1)$ non sono confrontabili, perché $1\le 2$ ma $2\not\le 1$: nessuna delle due coppie è “minore o uguale” all’altra.

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Ordine parziale · Ordine totale
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione