Disuguaglianza 2 alla n maggiore di n quadrato

Testo

Mostra che $2^n>n^2$ per ogni $n\ge 5$.

Soluzione

Base ($n=5$): $2^5=32>25=5^2$. Vero.

Passo: supponiamo $2^k>k^2$ con $k\ge 5$. Allora $2^{k+1}=2\cdot 2^k>2k^2.$ Basta mostrare che $2k^2\ge(k+1)^2$. Infatti $2k^2-(k+1)^2 = k^2-2k-1 = (k-1)^2-2>0 \quad\text{per } k\ge 5.$ Dunque $2^{k+1}>2k^2\ge(k+1)^2$. Per induzione la disuguaglianza vale per ogni $n\ge 5$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Principio di induzione
Metodi: Induzione
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione