Somma dei primi n naturali

Esempio — Somma dei primi $n$ naturali

Dimostriamo che, per ogni $n\ge 1$, $P(n)\colon\quad 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}.$ Base ($n=1$): $1=\dfrac{1\cdot 2}{2}$. Vero.

Passo: supponiamo vera $P(k)$, ossia $1+\cdots+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$. Allora $1+\cdots+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2}+(k+1) = (k+1)\frac{k+2}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2},$ che è esattamente $P(k+1)$. Per induzione, la formula vale per ogni $n\ge 1$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Principio di induzione
Metodi: Induzione
Competenze: Dimostrare