Quadrato e inversa di una matrice 2x2

Testo

Calcolare $A^2$ e $A^{-1}$ per $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$.

Soluzione

Quadrato (prodotto riga per colonna di $A$ per sé stessa): $A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+1 & 2+1 \\ 2+1 & 1+1\end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2\end{pmatrix}}.$ Inversa con la formula $2\times 2$. Il determinante è $\det A = 2\cdot 1 - 1\cdot 1 = 1\ne 0$, quindi: $A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}}.$ Verifica: $A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2$ ✓.

Collegamenti

Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Determinante · Matrice inversa · Prodotto tra matrici
Metodi: Matrice inversa 2x2
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni