MCD e mcm con la scomposizione

Esempio — MCD e mcm con la scomposizione

Calcolare MCD e mcm di $P_1 = 2x^3+3x^2-2x-3$ e $P_2 = x^4+2x^2-3$.

Scomposizione di $P_1$ (raccoglimento parziale):

2x^3+3x^2-2x-3 &= x^2(2x+3) - (2x+3) \\ &= (x^2-1)(2x+3) = \boxed{(x-1)(x+1)(2x+3)} \end{aligned}$$ **Scomposizione di $P_2$** (sostituzione $t=x^2$): $$\begin{aligned} x^4+2x^2-3 &= t^2+2t-3 = (t-1)(t+3) \\ &= (x^2-1)(x^2+3) = \boxed{(x-1)(x+1)(x^2+3)} \end{aligned}$$

Osservazione

$x^2+3$ è irriducibile in $\mathbb{R}$: è sempre positivo, quindi non ha radici reali.

Confrontando i fattori dei due polinomi:

	$(x-1)$	$(x+1)$	$(2x+3)$	$(x^2+3)$
$P_1$	✓	✓	✓
$P_2$	✓	✓		✓
MCD	✓	✓
mcm	✓	✓	✓	✓

Il MCD raccoglie i fattori comuni, il mcm tutti i fattori: $\text{MCD} = \boxed{(x-1)(x+1)}, \qquad \text{mcm} = \boxed{(x-1)(x+1)(2x+3)(x^2+3)}$

Collegamenti

Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Mcd · Mcm · Polinomio irriducibile · Scomposizione in fattori
Competenze: Calcolare · Scomporre