Due modi di scomporre una differenza di potenze seste

Lo stesso polinomio può essere letto come differenza di quadrati o come differenza di cubi. La scelta di partenza cambia il numero di fattori irriducibili che si ottengono.

Esempio — Due modi di scomporre $a^6-b^6$

Il polinomio $a^6-b^6$ si può vedere in due modi diversi.

Metodo 1 — Differenza di quadrati prima. $a^6-b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3+b^3)(a^3-b^3)$ Ciascun fattore si scompone ulteriormente (somma e differenza di cubi):

a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ a^3-b^3 &= (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{aligned}$$ Risultato: $a^6-b^6 = \boxed{(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ (4 fattori). **Metodo 2 — Differenza di cubi prima.** $$a^6-b^6 = (a^2)^3 - (b^2)^3 = (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) = (a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)$$ (3 fattori).

Attenzione

Il Metodo 1 è più completo: produce 4 fattori irriducibili, mentre il Metodo 2 ne produce solo 3 (il trinomio $a^4+a^2b^2+b^4$ non si scompone facilmente con le tecniche standard). Conviene partire sempre dalla differenza di quadrati.

Collegamenti

Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Differenza di quadrati · Scomposizione in fattori · Somma e differenza di cubi
Competenze: Scomporre